Частные производные частный и полный дифференциал. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных

15.07.2023

Практическая работа №2

«Дифференциал функции»

Цель занятия : Научиться решать примеры и задачи по данной теме.

Вопросы теории (исходный уровень):

1. Применение производных для исследования функций на экстремум.

2. Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.

3. Полный дифференциал функции многих переменных.

4. Состояние организма как функция многих переменных.

5. Приближенные вычисления.

6. Нахождение частных производных и полного дифференциала.

7. Примеры использования указанных понятий в фармакокинетике, микробиологии и др.

(самостоятельная подготовка)

1. ответить на вопросы по теме занятия;

2. решить примеры.

Примеры

Найти дифференциалы следующих функций:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Применение производных для исследования функций

Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]

Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]

Условие максимума функции y=f(x)при x= а

f"(a)=0 и f"" (a)<0

Если при х=а производные f"(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходимо исследовать f"(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f"(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума - с « - » на «+» Если f"(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функции экстремума нет

Дифференциал функции.

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Дифференциал функции y=f(x)

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

Дифференциал произведения двух функций у=uv

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

где Δx: - приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Применениедифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и относительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Дифференциал функции как главная часть приращения функци и. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную

Df/Dx = f¢(x) + a(Dx) , откуда приращение функции Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, где a(Dх) ® 0 при Dх ® 0 . Определим порядок бесконечно малой f¢(x)Dx Dх. :

Следовательно, бесконечно малые f¢(x)Dx и Dx имеют одинаковый порядок малости, то есть f¢(x)Dx = O.

Определим порядок бесконечно малой a(Dх)Dх по отношению к бесконечно малой Dх :

Следовательно, бесконечно малая a(Dх)Dх имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой Dх , то есть a(Dх)Dх = о.

Таким образом, бесконечно малое приращение Df дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f¢(x)Dx одинакового порядка малости с Dх и бесконечно малой a(Dх)Dх более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой Dх. Это означает, что в равенстве Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx при Dх® 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть a(Dх)Dх = о.

Первое слагаемое f¢(x)Dx, линейное относительно Dх , называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак,

dy = df = f¢(x)Dx.

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции есть главная часть приращения функции Df , линейная относительно приращения аргумента Dx . Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем Dx . Действительно, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx или Df = df + a(Dx)Dx. Дифференциал аргумента dx равен его приращению Dx: dx=Dx.

Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x 3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:

Подставляя значения dx=Dx=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: df ½ x=1; = 0,5.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.

Частные производные первого порядка . Частной производной первого порядкафункции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел

если он существует.

Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:

Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:

Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».

Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx , достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х , а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.

Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x 2 + y 2 в точке Р(1;2).

Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим

В точке Р(1;2) значение производной

Считая f(x;y) функцией одного аргумента у, находим

В точке Р(1;2) значение производной

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:

Найдите дифференциалы следующих функций:

Решить следующие задачи:

1. На сколько уменьшится площадь квадрата со стороной х=10см, если сторону уменьшить на 0,01 см?

2. Дано уравнение движения тела: y=t 3 /2+2t 2 , где s – выражено в метрах, t-в секундах. Найти путь s, пройденный телом за t=1,92 с от начала движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978.C198-226.

2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.

3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С16-20.

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные от сложных функций 4 Полный дифференциал Частные дифференциалы Если функция z=f(,) дифференцируема, то ее полный дифференциал dz равен dz=a +B () z z Замечая, что A=, B =, запишем формулу () в следующем виде z z dz= + () Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям: d= ; d= После этого формула полного дифференциала функции примет вид z z dz= d + d () d + d Пример Пусть =ln(+) Тогда dz= d + d = Аналогично, если u=f(, n) есть дифференцируемая функция n независимых n переменных, то du= d (d =) = Выражение d z=f (,)d (4) называется частным дифференциалом функции z=f(,) по переменной; выражение d z=f (,)d (5) называется частным дифференциалом функции z=f(,) по переменной Из формул (), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является суммой ее частных дифференциалов: dz=d z+d z Отметим, что полное приращение z функции z=f(,), вообще говоря, не равно сумме частных приращений Если в точке (,) функция z=f(,) дифференцируема и дифференциал dz 0 в этой точке, то ее полное приращение z= z z + + α (,) + β (,) отличается от своей линейной части dz= z z + только на сумму последних слагаемых α +β, которые при 0 и 0 являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем слагаемые линейной части Поэтому при dz 0 линейную часть приращения дифференцируемой функции называют главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой z dz, которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут приращения аргументов,97 Пример Вычислить приближенно arctg(),0

2 Решение Рассмотрим функцию f(,)=arctg() Применяя формулу f(х 0 + х,у 0 + у) f(х 0, у 0) + dz, получим arctg(+) arctg() + [ arctg()] + [ arctg()] или + + arctg() arctg() () + () Положим =, =, тогда =-0,0, =0,0 Поэтому, (0,0 0,0 arctg) arctg() + (0,0) 0,0 = arctg 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Можно показать, что ошибка, получающаяся при применении приближенной формулы z dz не превосходит числа = М (+), где М наибольшее значение абсолютных величин вторых частных производных f (,), f (,), f (,) при изменении аргументов от до + и от до + Частные производные высших порядков Если функция u=f(, z) имеет в некоторой (открытой) области D частную производную по одной из переменных, то найденная производная, сама являясь функцией от, z, может в свою очередь в некоторой точке (0, 0, z 0) иметь частные производные по той же или по любой другой переменной Для исходной функции u=f(, z) эти производные будут частными производными второго порядка Если первая производная была взята, например, по, то ее производная по, z обозначается так: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = или u, u, u z z z Аналогично определяют производные третьего, четвертого и так далее порядков Заметим, что частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, например, ; называется смешанной частной производной Пример u= 4 z, тогда, u =4 z ; u = 4 z ; u z = 4 z; u = z ; u =6 4 z ; u zz = 4 ; u = z ; u = z ; u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z Заметим, что смешанные производные, взятые по одним и тем же переменным, но в разном порядке, совпадают Это свойство верно не для всех, вообще говоря, функций, но оно имеет место в широком классе функций Теорема Предположим, что) функция f(,) определена в (открытой) области D,) в этой области существуют первые производные f и f, а также вторые смешанные производные f и f и наконец,) эти последние производные f и f, как функции и, непрерывны в некоторой точке (0, 0) области D Тогда в этой точке f (0, 0)=f (0, 0) Доказательство Рассмотрим выражение

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, где, отличны от нуля, например, положительны, и притом настолько малы, что в D содержится весь прямоугольник [ 0, 0 +; 0, 0 +] Введем вспомогательную функцию от: f (, 0 f (, 0) ϕ()=, которая в промежутке [ 0, 0 +] в силу () имеет производную: f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= и, следовательно, непрерывна С помощью этой функции f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) выражение W, которое равно W= можно переписать в виде: ϕ (0 +) ϕ (0) W= Так как для функции ϕ() в промежутке [ 0, 0 +] выполняются все условия теоремы Лагранжа, то мы можем, по формуле конечных приращений, преобразовать выражение W f так: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 +θ)= (0<�θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<�θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<�θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Мы видим, что du также является некоторой функцией от, Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные первого порядка и можно говорить о полном дифференциале от этого дифференциала du, d(du), который называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от u; он обозначается d u Подчеркнем, что приращения d, d, d при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему (причем d, d будут нулями) Итак, d u=d(du)=d(d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d или d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Аналогично, определяется дифференциал третьего порядка d u и так далее Если для функции u существуют непрерывные частные производные всех порядков до n-го включительно, то существование n-го дифференциала обеспечено Но выражения для них становятся все более сложными Можно упростить запись Вынесем в выражении первого дифференциала «букву u» за скобки Тогда, запись будет символической: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, которую надлежит понимать так: сначала «многочлен», стоящий в скобках, формально, возводится по правилам алгебры в степень, затем все полученные члены «умножаются» на u (которое n дописывается в числителях при), и только после этого всем символам возвращается их значение как производных и дифференциалов u d) d u 4Производные от сложных функций Пусть мы имеем функцию u=f(, z), определенную в области D, причем каждая из переменных, z в свою очередь, является функцией от переменной t в некотором промежутке: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Пусть, кроме того, при изменении t точки (, z) не выходят за пределы области D Подставив значения, и z в функцию u, получим сложную функцию: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Предположим, что u имеет по, и z непрерывные частные производные u, u и u z и что t, t и z t существуют Тогда можно доказать существование производной сложной функции и вычислить ее Придадим переменной t некоторое приращение t, тогда, и z получат соответственно приращения, и z, функция же u получит приращение u Представим приращение функции u в форме: (это можно сделать, так как мы предположили существование непрерывных частных производных u, u и u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, где α, β, χ 0 при, z 0 Разделим обе части равенства на t, получим u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Устремим теперь приращение t к нулю: тогда, z будут стремиться к нулю, так как функции, z от t непрерывны (мы предположили существование производных t, t, z t), а потому, α, β, χ тоже стремятся к нулю В пределе получаем u t =u t +u t +u z z t () Видим, что при сделанных предположениях производная сложной функции действительно существует Если воспользоваться дифференциальным обозначением, то du d d dz () будет иметь вид: = + + () dt dt dt z dt Рассмотрим теперь случай зависимости, z от нескольких переменных t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Кроме существования и непрерывности частных производных функции f(, z), мы предполагаем здесь существование производных от функций, z по t и v Этот случай существенно не отличается от уже рассмотренного, так как при вычислении частной производной функции от двух переменных мы одну из переменных фиксируем, и у нас остается функция только от одной переменной, формула ()будет та z же, а () нужно переписать в виде: = + + (а) t t t z t z = + + (б) v v v z v Пример u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f) и f) - ((соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

1. Основные понятия. Функции нескольких переменных. Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты

2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных, если каждой паре значений,

Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ()

Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f (x, x) определена в области D, и точка x (x, x) = принадлежит данной области Функция u = f (x, x) имеет

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

9 Производная и дифференциал 91 Основные формулы и определения для решения задач Определение Пусть функция y f () определена на некоторой f (Δ) f () Δy окрестности точки Предел отношения при Δ Δ Δ, если

1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Функции нескольких аргументов Понятие функции каждому элементу х из множества Х по некоторому закону у = f(х) поставлено в соответствие единственное значение переменной у из множества У каждой паре чисел

Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f (1, n) переменной от переменных 1, n называется функцией n аргументов 1, n В дальнейшем будем рассматривать

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(,) f () () (), где () при

Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Продолжим изучать канонические преобразования. Сначала напомним основные

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

55 является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n (,), где ρ () + (), те можно представить его в форме Пеано n R, ρ Пример Записать формулу Тейлора при n с

Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =, х =,

Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание. Частные производные и дифференциалы сложных ФНП. Дифференцирование неявных функций Лектор Рожкова С.В.

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

ЛЕКЦИЯ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 Понятие производной функции Рассмотрим функцию у=f(), определенную на интервале (а;в) Возьмем любое значение х (а;в) и зададим аргументу

Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

58 Определенный интеграл Пусть на промежутке задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке произвольные числа, 3, n-, удовлетворяющие условию:

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (,) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f () d =, () = Функция f (,) задана в области G плоскости (,

Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Каждая частная производная (по x и по y ) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const),

(где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной , считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору частных производных онлайн .

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.

Понятие непрерывности функции z = f (x , y ) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.

Функция z = f (x , y ) называется непрерывной в точке если

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f (x , y ) и точка

Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x , при фиксированном значении другого аргумента y , то функция получит приращение

называемое частным приращением функции f (x , y ) по x .

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

то он называется частной производной функции f (x , y ) по аргументу x и обозначается одним из символов

(4)

Аналогично определяются частное приращение z по y :

и частная производная f (x , y ) по y :

(6)

Пример 1.

Решение. Находим частную производную по переменной "икс":

(y фиксировано);

Находим частную производную по переменной "игрек":

(x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Пример 2. Дана функция

Найти частные производные

(по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).

Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной ):

При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. В один шаг находим

(y x , как если бы аргументом синуса было 5x : точно так же 5 оказывается перед знаком функции);

(x фиксировано и является в данном случае множителем при y ).

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Если каждому набору значений (x ; y ; ...; t ) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E , то u называют функцией переменных x , y , ..., t и обозначают u = f (x , y , ..., t ).

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример 4. Найти частные производные функции

Решение. y и z фиксированы:

x и z фиксированы:

x и y фиксированы:

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5.

Пример 6. Найти частные производные функции .

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной , - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R , равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N , равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

(7)

Пример 9. Найти полный дифференциал функции

Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = f (x , y ) имеет непрерывные частные производные

в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).

Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции , так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.

Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид

(8)

где α и β – бесконечно малые при и .

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции f (x , y ) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

Понятие функции двух переменных

Величина z называется функцией двух независимых переменных x и y , если каждой паре допустимых значений этих величин по определенному закону соответствует одно вполне определенное значение величины z. Независимые переменные x и y называют аргументами функции.

Такая функциональная зависимость аналитически обозначается

Z = f (x,y), (1)

Значения аргументов x и y, которым соответствуют действительные значения функции z, считаются допустимыми , а множество всех допустимых пар значений x и y называют областью определения функции двух переменных.

Для функции нескольких переменных, в отличие от функции одной переменной, вводят понятия ее частных приращений по каждому из аргументов и понятие полного приращения.

Частным приращением Δ x z функции z=f (x,y) по аргументу x называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент x получает приращение Δx при неизменном y :

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Частным приращением Δ y z функции z= f (x, y) по аргументу y называется приращение, которое получает эта функция, если ее аргумент y получает приращение Δy при неизменном x:

Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Полным приращением Δz функции z= f (x, y) по аргументам x и y называется приращение, которое получает функция, если оба ее аргумента получают приращения:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

При достаточно малых приращениях Δx и Δy аргументов функции

имеет место приближенное равенство:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

причем оно тем точнее, чем меньше Δx и Δy .

Частные производные функции двух переменных

Частной производной функции z=f (x, y) по аргументу x в точке (x, y) называется предел отношения частного приращения Δ x z этой функции к соответствующему приращению Δx аргумента x при стремлении Δx к 0 и при условии, что этот предел существует:

, (6)

Аналогично определяют производную функции z=f (x, y) по аргументу y:

Кроме указанного обозначения, частные производные функции обозначают также , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Основной смысл частной производной состоит в следующем: частная производная функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении этого аргумента.

При вычислении частной производной функции нескольких переменных по какому-либо аргументу все остальные аргументы этой функции считаются постоянными.

Пример1. Найти частные производные функции

f (x, y)= x 2 + y 3

Решение . При нахождении частной производной этой функции по аргументу x аргумент y считаем постоянной величиной:

;

При нахождении частной производной по аргументу y аргумент x считаем постоянной величиной:

Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных

Частным дифференциалом функции нескольких переменных по какому -либо из ее аргументов называется произведение частной производной этой функции по данному аргументу на дифференциал этого аргумента:

d x z= , (7)

d y z= (8)

Здесь d x z и d y z -частные дифференциалы функции z= f (x, y) по аргументам x и y. При этом

dx= Δx; dy= Δy, (9)

Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма ее частных дифференциалов:

dz= d x z + d y z , (10)

Пример 2. Найдем частные и полный дифференциалы функции f (x, y)= x 2 + y 3 .

Так как частные производные этой функции найдены в примере 1, то получаем

d x z= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2 dy

Частный дифференциал функции нескольких переменных по каждому из ее аргументов является главной частью соответствующего частного приращения функции .

Вследствие этого можно записать:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

Аналитический смысл полного дифференциала заключается в том, что полный дифференциал функции нескольких переменных представляет собой главную часть полного приращения этой функции .

Таким образом, имеет место приближенное равенство

Δz dz, (12)

На использовании формулы (12) основано применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Представим приращение Δz в виде

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

а полный дифференциал в виде

Тогда получаем:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3.Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определение функции двух переменных.

2. Понятие частного и полного приращения функции двух переменных.

3. Определение частной производной функции нескольких переменных.

4. Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому- либо из ее аргументов.

5. Определение частного дифференциала функции нескольких переменных.

6. Определение полного дифференциала функции нескольких переменных.

7. Аналитический смысл полного дифференциала.

Студент должен уметь:

1. Находить частные и полное приращение функции двух переменных.

2. Вычислять частные производные функции нескольких переменных.

3. Находить частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.

4. Применять полный дифференциал функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Теоретическая часть :

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Функция двух переменных. Частное и полное приращение функции двух переменных.

3. Частная производная функции нескольких переменных.

4. Частные дифференциалы функции нескольких переменных.

5. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

6. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.

Практическая часть:

1.Найдите частные производные функций:

1) ; 4) ;

2) z= e ху+2 x ; 5) z= 2tg хе у;

3) z= х 2 sin 2 y; 6) .

4. Дайте определение частной производной функции по данному аргументу.

5. Что называется частным и полным дифференциалом функции двух переменных? Как они связаны между собой?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Равно ли в общем случае произвольной функции нескольких переменных ее полное приращение сумме всех частных приращений?

2. В чем состоит основной смысл частной производной функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов?

3. В чем состоит аналитический смысл полного дифференциала?

7.Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

3.Решение примеров и задач - 40 мин.

4. Текущий контроль знаний -30 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию :

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 3.3.

Для упрощения записи и изложения материала ограничимся случаем функций двух переменных. Все дальнейшее справедливо также для функций любого числа переменных.

Определение. Частной производной функции z = f (х, у ) по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у .

Аналогично определяется частная производная по переменной у .

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Определение. Произведение частной производной на приращение аргумента х ( y) называется частным дифференциалом по переменной х (у ) функции двух переменных z = f (x, y ) (обозначения: ):

Если под дифференциалом независимой переменной dx (dy ) понимать приращение х (у ), то

Для функции z = f (x, y ) выясним геометрический смысл ее частотных производных и .

Рассмотрим точку , точку P 0 (х 0 , y 0 , z 0) на поверхности z = f (x , у ) и кривую L , которая получится при сечении поверхности плоскостью у = у 0 . Эту кривую можно рассматривать как график функции одной переменной z = f (x, y ) в плоскости у = у 0 . Если провести в точке Р 0 (х 0 , у 0 , z 0) касательную к кривой L , то, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной , где a – угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ох .